Paradoja de Russell

[Morzillo]

Hola, ¿cómo andan? Hacía tiempo que no entraba a cyberateos.
Bueno, si conocen la paradoja de Russell, les quería preguntar si tiene solución y cuál es.
Si no la conocen, se las cuento, está muy buena:

La paradoja de Russell trata sobre conjuntos. Podemos clasificar a todos los conjuntos en 2 clases: los que se contienen a sí mismos y los que no se contienen a sí mismos.
Los conjuntos mas comunes son conjuntos que no se contienen a sí mismos, por ejemplo el conjunto de todos los libros del mundo no se contiene a sí mismo, porque el conjunto no es un libro. A ese tipo de conjuntos (que NO se contienen a sí mismos) se le dice "conjuntos normales".
Pero también existen conjuntos un poco mas raros, que se contienen a sí mismos, o sea, que el mismo conjunto es uno de los elementos que lo forman. Por ejemplo, pensemos en el conjunto de todas las cosas que NO son manzanas. ¿Ese conjunto es una manzana? No, por lo tanto es un elemento de él mismo. ¿se entiende? Otro ejemplo podría ser el conjunto de todos los conjuntos. Se contiene a sí mismo, porque por ser un conjunto es un elemento de él mismo. A este 2do tipo de conjuntos (que se contienen a sí mismos) se les dice "conjuntos singulares".
Cada conjunto o bien es normal, o bien es singular. ¿por qué? porque o se contiene a sí mismo, o no se contiene a si mismo, no hay término medio. Tampoco puede ser normal y singular a la misma ves, y tampoco puede ser que no sea ni normal ni singular. O se contiene, o no se contiene. O es normal o es singular.
Y aquí viene la paradoja:
Piensen en el conjunto de los conjuntos normales. A ese conjunto llamémosle "C".
La pregunta es: ¿C es normal o singular? (antes de seguir leyendo piénsenlo ustedes mismos)

Bueno, supongamos que C fuese normal. Si C es normal, C tiene que estar dentro de C, porque C es el conjunto de todos los conjuntos normales. Pero si C está dentro de C, estamos diciendo que se contiene a sí mismo, o sea que no puede ser normal. Llegamos a un absurdo. Seguramente ustedes estarán pensando: "ah, bien, entonces si no es normal, es sigular". Bueno, entonces supongamos que C fuese singular. Si C es singular, no es normal. Por lo tanto, C no está dentro de C. Pero si C no está dentro de C significa que C es normal, o sea que no es singular. Llegamos a otro absurdo!!!
Por los 2 lados se llega a un absurdo!!!
¿entienden?

saludos!

[Morzillo]

Jaja, ¿no entendieron nada? ¿o les pareció aburrido? ¿o ni lo leyeron?
Digo por la cantidad enorme de respuestas que tuve, jaja!

saludos!

[estintobasico]

Hola Morcillo

Lo primero: me alegro de verte otra vez por aquí

Lo segundo y acerca de tu post:

[Morzillo]

Jajaja!!!!

saludos, estintobasico!!!

[Shé]

Hola Morzillo,

Yo también me alegro de verte de nuevo por aquí.

Pero como ves somos una panda de vagos. O será el tiempo tristón que tenemos.

[Morzillo]

Jaja, sí, no se por qué se me dio por poner este post aquí en cyberateos. No se, me imaginé que habría varios a los que les guste la lógica, pero se ve que no...

saludos, She!

[Shé]

Jaja, sí, no se por qué se me dio por poner este post aquí en cyberateos. No se, me imaginé que habría varios a los que les guste la lógica, pero se ve que no...

saludos, She!

No, si gustar ya nos gusta. Pero se ve que estamos algo flojillos esta temporada.

[grama]

Interesante... me gustó... aunque si bien está más elaborada, no encuentro que sea distinto a la frase por ejemplo "Esto que estoy diciendo, es mentira"

[Morzillo]

Grama, sí, no estoy seguro, pero sospecho que en el fondo es el mismo problema. Bueno, ya sea pensando en los conjuntos, o en la frase "esto es mentira", ¿tiene solución? ¿cuál es? No entiendo, no tiene sentido que se den estas paradojas, alguna explicación tiene que tener, pero no me doy cuenta cual es, no me doy cuenta qué es lo que hago mal. Estos problemas me queman la cabeza!!! porque parecen tan simples, pero sin embargo llego a una paradoja! me dan ganas de pegarme la cabeza contra la pared!! jaja
¿alguien sabe cómo solucionar el problema? ¿se les ocurre algo?

saludos!

[Morzillo]

Claro, gente, para los que les aburrió leerlo en el contexto de los conjuntos, diganme si la siguiente frase es verdadera o falsa:

"Esto que estoy diciendo, es mentira"

¿cómo se explica la paradoja a la que se llega?

[Tango]

Ts, ts, están flojones en metafilosofia.

Para los conjuntos: El conjunto C no es ni normal ni singular, sino todo lo contrario. Es singunormal. (Si, de acuerdo, me lo acabo de inventar).
Es algo parecido a la oferta del 3 por 1 del catolicismo llamada Santisima Trinidad.

Para la frase "Esto que estoy diciendo es mentira": Es una frase que en cada nueva verificación tiene valor de verdad / mentira diferente. Cambia en cada iteración. Es algo asi como una estrella pulsar de la lógica.

Listo, tema resuelto. A otra cosa, compañeros.

Saludos
Tango

[Morzillo]

Pero un conjunto no puede ser "singunormal". O es normal, o es singular. O se contiene a sí mismo, o no se contiene.

[Wilalgar]

"Esto que estoy diciendo, es mentira"

mmm

Pues no veo la paradoja por ningún lado, tan solo veo una frase carente de significado. Tendría sentido si fuese después de una frase afirmativa o negativa, pero así sola... sí, carece por completo de significado.

[grama]

Es una frase autoreferente y claro que carece de sentido, porque se contradice a sí misma... lo de los conjuntos es en mi opinión lo mismo pero más elaborado.

[Morzillo]

Claro, la comprobación de si es verdadera o falsa se hace sobre la misma afirmación que se está haciendo, es auto-referente.

Igual les digo que todo ésto me raya un poco, no puedo evitarlo, es una afirmación y no es verdadera ni falsa, parecería como que hay que reacomodar la lógica, no se.....

[goheim]

Hola, ¿cómo andan? Hacía tiempo que no entraba a cyberateos.
Bueno, si conocen la paradoja de Russell, les quería preguntar si tiene solución y cuál es.
Si no la conocen, se las cuento, está muy buena:

La paradoja de Russell trata sobre conjuntos. Podemos clasificar a todos los conjuntos en 2 clases: los que se contienen a sí mismos y los que no se contienen a sí mismos.
Los conjuntos mas comunes son conjuntos que no se contienen a sí mismos, por ejemplo el conjunto de todos los libros del mundo no se contiene a sí mismo, porque el conjunto no es un libro. A ese tipo de conjuntos (que NO se contienen a sí mismos) se le dice "conjuntos normales".
Pero también existen conjuntos un poco mas raros, que se contienen a sí mismos, o sea, que el mismo conjunto es uno de los elementos que lo forman. Por ejemplo, pensemos en el conjunto de todas las cosas que NO son manzanas. ¿Ese conjunto es una manzana? No, por lo tanto es un elemento de él mismo. ¿se entiende? Otro ejemplo podría ser el conjunto de todos los conjuntos. Se contiene a sí mismo, porque por ser un conjunto es un elemento de él mismo. A este 2do tipo de conjuntos (que se contienen a sí mismos) se les dice "conjuntos singulares".
Cada conjunto o bien es normal, o bien es singular. ¿por qué? porque o se contiene a sí mismo, o no se contiene a si mismo, no hay término medio. Tampoco puede ser normal y singular a la misma ves, y tampoco puede ser que no sea ni normal ni singular. O se contiene, o no se contiene. O es normal o es singular.
Y aquí viene la paradoja:
Piensen en el conjunto de los conjuntos normales. A ese conjunto llamémosle "C".
La pregunta es: ¿C es normal o singular? (antes de seguir leyendo piénsenlo ustedes mismos)

Bueno, supongamos que C fuese normal. Si C es normal, C tiene que estar dentro de C, porque C es el conjunto de todos los conjuntos normales. Pero si C está dentro de C, estamos diciendo que se contiene a sí mismo, o sea que no puede ser normal. Llegamos a un absurdo. Seguramente ustedes estarán pensando: "ah, bien, entonces si no es normal, es sigular". Bueno, entonces supongamos que C fuese singular. Si C es singular, no es normal. Por lo tanto, C no está dentro de C. Pero si C no está dentro de C significa que C es normal, o sea que no es singular. Llegamos a otro absurdo!!!
Por los 2 lados se llega a un absurdo!!!
¿entienden?

saludos!

A pesar de ser una paradoja muy conocida, no deja de ser otra paradojas semánticas. Y estas paradojas poseen solución ya que le problema está en dar vercidad al enunciado.

De hecho la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje fue introducida por Alfred Tarski como una solución a las paradojas semánticas como la paradoja del mentiroso.Según Tarski, ningún lenguaje puede contener su propio predicado de verdad y permanecer consistente. Para hablar acerca de la verdad en un lenguaje, y no generar contradicciones, es necesario hacerlo desde un lenguaje distinto, con mayor poder expresivo: el metalenguaje.

Pero hablemos en concreto de la paradoja de Russel o más conocida como la paradoja del Barbero. Primero un poco de historia

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

Supongamos un conjunto que consta de conceptos que no son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito, es el conjunto que consta de "ideas abstractas" es miembro de sí mismo porque el conjunto es él mismo una idea abstracta, mientras que un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto no es un libro. En su paradoja, Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de ellos mismos forma parte de sí mismo. Si forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que sí forman parte de sí mismos.

Enunciemos la paradoja de otra forma: llamemos M a "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Entonces, M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es absurdo.

Un desarrollo más formal se presenta en Teoría Intuitiva de Conjuntos.

La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero

«el barbero de esta ciudad, que afeita sólo a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo?»

EXPLICACIÓN DE LA PARADOJA

Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc... y en este sentido los llamaremos conjuntos normales.La característica principal de un conjunto normal es que no se contienen a sí mismos.Pero también existen conjuntos de conjuntos, como 2M, que es el conjunto de subconjuntos de M.

Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo que se contenga a sí mismo.

Esto último no es difícil, si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros.

Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.

Está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio. O se contiene a sí mismo o no se contiene.

Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular?

Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no está en C entonces es normal.

Cualquier alternativa nos produce una contradicción, ésta es la paradoja.

Pero nna solución radical al problema de las paradojas es la propuesta en 1903 por el propio Russell, su Teoría de Tipos. Observa que en todas las paradojas conocidas hay una componente de reflexividad, de circularidad. Técnicamente se evitan las paradojas al eliminar del lenguaje las formaciones circulares. Se reconoce que nuestro universo matemático no es plano, sino jerarquizado, por niveles, y que el lenguaje más adecuado para hablar de un universo debe tener diversos tipos de variables que correspondan a cada nivel; en particular, la relación de pertenencia se dá entre objetos de distinto nivel. En 1908 Zermelo da como solución la definición axiomática de la Teoría de Conjuntos, refinada más tarde por Fraenkel, Skolem, von Neumann y otros. En esta teoría se evita que las colecciones que llevaban a las paradojas puedan ser conjuntos. De hecho, en la solución de Zermelo-Fraenkel, una colección de objetos será un conjunto si los axiomas la respaldan. Dichos axiomas permiten formar conjuntos a partir de conjuntos previamente construídos y postulan la existencia del ∅ y de al menos un conjunto infinito. Sin embargo, en la solución de von Neumann se admiten colecciones que no son conjuntos, las denominadas clases últimas. Se definen clases mediante propiedades, sin restricción, pero habrá que mostrar que se trata de conjuntos viendo que pertenecen a alguna clase. Las clases últimas, como la clase universal o la de los ordinales, no pertenecen a ninguna otra clase.

Solución lógico- matemática:

En la sintaxis lógica el significado de un signo no debería tener nunca importancia; debe poder inferirse sin tener que mencionar el significado del signo, sólo debe presuponer la descripción de las expresiones.

A partir de esta observación nos volvemos hacia la "Teoría de los tipos" de Russell. La equivocación de Russell se muestra en que para la determinar las reglas para los signos tuvo que de su significado.

Ninguna proposición puede declarar algo acerca de sí misma, puesto que el signo proposicional no puede estar contenido dentro de sí mismo (ésta es toda la "Teoría de los tipos").

Una función no puede ser su propio argumento porque el signo para una función ya contiene el prototipo de su argumento y éste no puede contenerse a sí mismo. Supongamos por ejemplo que la función F(fx) pudiera ser su propio argumento; entonces existiría una proposición "F(F(fx))" y en ésta deberían tener diferente significado la función F exterior y la función F interior, puesto que la interior tiene la forma O(f(x)) y la exterior tiene la forma Y(O(fx)). Sólo la letra "F" es común a las dos funciones, pero la letra por sí misma no significa nada. Esto se vuelve inmediatamente claro, cuando en lugar de "F(Fu)" escribimos '(do) : F(Ou) . Ou = Fu'. Así acabamos con la paradoja de Russell.

Las reglas de la sintaxis lógica deben ser evidentes por sí mismas, una vez que sepamos qué significa cada signo individual.

[goheim]

Claro, gente, para los que les aburrió leerlo en el contexto de los conjuntos, diganme si la siguiente frase es verdadera o falsa:

"Esto que estoy diciendo, es mentira"

¿cómo se explica la paradoja a la que se llega?

"Esto que estoy diciendo, es mentira" (paradoja del mentiroso)

Volvemos a una paradoja semántica. Como comenté antes esto se resuelve usando el metalenguaje.

[disidente]

Hablando de paradojas, hay una muy bonita de Unamuno que a mí siempre me gustó mucho y que viene muy bien en este foro:

"Nosotros somos el sueño del dios con el que soñamos".

(Perdón si no la he enunciado literalmente pues hablo de memoria)

[Hagamenon]

hey goheim. si no lo entiendo mal, y corrígeme si me equivoco, la solución a la paradoja de russel consiste en decir que si un conjunto se contiene a si mismo, entonces no es un conjunto. muerto el perro se acabó la rabia.
en las matemáticas y la lógica siempre se ha buscado la certidumbre e históricamente, primero se detectó el problema (la paradoja) y después se buscó la solución. pero digo yo que la lógica es una destilación de nuestro pensamiento. y qué coño, si hay paradojas, pues hay paradojas. pero lo que es cierto es que la auto-referencia plaga el lenguaje.

se ocurre ahora, por ejemplo, la frase más inocente: "yo soy español."

"yo", se refiere al emisor de la frase, que puede yo mismo, Hagamenon, o un ordenador, o personalizando en un libro de fantasía, por ejemplo, podría referirse al propio libro en si, o si queremos jugar en cierto contexto podría apuntar hacia la propia frase y todo el mundo lo entendería.
pero vamos al caso de que "yo" soy yo y quiero explicarme mejor. todo el mundo entendería perfectamente, y no creo que sea pecado decir:

"yo, el que pronuncia esta oración, soy español."

lo único que estoy haciendo es poner de forma explícita algo que de otra forma se comunica implícitamente.
y ya la hemos liado, ya tenemos aquí una pedazo de auto-referencia como la copa de un pino. si quiero ser más explícito todavía, puedo decir:

"yo, el que pronuncia yo, el que pronuncia esta oración, soy español".

o para aclarar más la cosa todavía:

"yo, el que pronuncia yo, el que pronuncia yo, el que pronuncia esta oración, soy español".

y así:

"yo, el que pronuncia yo, el que pronuncia ..., soy español".

hasta el infinito y más allá.


al fin y al cabo, las matemáticas y la lógica son sistemas cerrados con sus axiomas y sus reglas, y si algo no te gusta porque no quieres que aparezcan paradojas, y la mayoría de la gente piensa de este modo, pues se cambia y tan panchos. pero la auto-referencia no se puede eliminar del mapa, ni tiene nada de negativo, y se utiliza a patadas. pero ni las matemáticas ni la lógica se pliegan a los deseos de certidumbre de los miserables humanos, porque al fin y al cabo son, como todo lo demás, un producto físico.

en la misma línea esta una cuestión que no estoy muy seguro de que sea una paradoja, pero se aproxima mucho.
la física estudia el "mundo exterior", estudia por ejemplo el comportamiento de las partículas subatómicas. pero haciendo esto, también se está estudiando lo más interno del ser humano, que también está constituido por partículas subatómicas.
* mientras tanto, la neurociencia y otras ciencias del hombre estudian el funcionamiento del cerebro. pero dado que toda nuestra experiencia del mundo exterior se da en el cerebro, nuestra percepción, que determina la forma en que vemos el mundo exterior, y por lo tanto, al estudiar el cerebro también estudiamos exterior.

¿por qué cuento esto? lo hago porque tengo una intuición de que de alguna manera está fuertemente relacionado con la auto-referencia del lenguaje, o de los conjuntos.
para que se vea esta auto-referencia en el universo, cuento lo mismo pero de otra manera.
supongamos que tengo una cámara mágica. esta cámara empieza a gravar una película, y me saca a mi en un primer plano. la cámara avanza hacia mi hasta que penetra dentro de mi cabeza, y entra en mi consciencia, y ya no grava el mundo exterior, sino lo que yo veo, es decir, mi visión de lo que me rodea.
con esto lo que quiero decir es que en algunas partes del universo (nuestros cerebros) están estructuradas de tal manera que en ellas se referencia a si mismo (auto-referencia de nuevo). y cuando pienso sobre mi, se trata de un yo reproducido en segundo grado. y esto en un mal día.


tooooooooooma paja mental!!!


* si por ejemplo percibiésemos el entorno como los murciélagos, es decir, si fuésemos ciegos, pero extremadamente sensibles al sonido, nuestra física sería totalmente diferente. Este es un ejemplo extremo de porqué nuestra percepción determina nuestra física.
En la misma línea influye la información con la que contamos. pongo este vídeo, en que el físico Lawrence Krauss comenta como con la forma actual de hacer ciencia, y con la condición de estar un buen puñado de millones de años en el futuro (cuando el universo se haya expandido lo suficiente para no ver nada más que nuestra galaxia) nuestras teorías serían falsas por no contar con la info necesaria. quien sabe si hemos perdido info relevante del pasado.
http://www.youtube.com/watch?v=7ImvlS8P ... r_embedded

[goheim]

En Teoria de Conjuntos, las paradojas como las de Russell (que no fue más que uno de los que demostro que la Teoría de Conjuntos propuesta por Cantor hacía aguas por algunos lados .) fueron resueltas poco depués por el famoso matemático Poincaré. Poincaré puso de evidencia que las raíz de las paradojas que se plantearon estaba el hecho de que se definia un objeto en términos de una clase de objetos que íncluia al propio objeto definido. Corrigiendo este desliz en la definición de conjunto se reescribio una nueva Teoría de conjuntas sin dicha fisura.

En términos mundamos podríamos darte por válido lo de muerto el perro, se acabo la rabía

La cuestión es el hecho de que se considera que el problema está en el lenguaje, por eso el uso del metalenguaje. Voy a explicar de forma mundama por ejemplo la paradoja del mentiroso anterior:

"Esto que estoy diciendo, es mentira"

La gente puede tirarse toda la vida con esta frase y seguir viendo contradicción. Pero para mi es por dos problemas principales: a) Preconcepciones y b) No buena definición de las bases

Veamoslo desde mi punto de vista friki

Primero habrá que decir que todos (o casi todos) partiremos de varias preconcepciones:

1) la frase es verdadera o es falsa
2) Si no es verdadera es falsa
3) si no es falsa es verdadera

Bien pues hay esta el problema:

La frase "Esto que estoy diciendo" no es ni verdadera ni falsa, luego nunca puede ser mentira ni verdad. Podriamos definirla como una frase neutra.

Estamos acostumbrados frase como: "el coche es amarillo" . Esta frase puede ser cierta o no dependiendo de si el coche relamente es amarillo o no lo és. Pero me están dando una propiedad sobre la que basarme. En la cuestión del mentiroso no me están dando ninguna propiedad o cualidad.

En la realidad la frase "Esto que estoy diciendo, es mentira" podría ser tanto verdadera como mentira. Ejemplo imaginemos que yo digo está frase señalando un texto de in libro que yo he publicado". Ahora ya estoy danto una propiedad o cualidad a la frase "El texto que yo he publicado".

En la paradoja de Russell «el barbero de esta ciudad, que afeita sólo a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo?», la preconcepción es suponer que todos los hombres se afeitan si o si. Es decir si consideramos que la frase "los hombres que no se afeitan así mismos" significa "los hombres que se afeitan pero no lo hacen ellos mismos" la frase no es una paradoja pues el barbero no se afeita y tendrá una gran barba.

Como ya he dicho esto es modo coloquial

Pero os voy a dejar un texto del famoso creador de acertijos matemáticos Henry E. Dundeney sobre paradojas (Entender que hablo del año 1907, lo digo por las referencias a DIos):

"Siempre debe recordarse que una persona muy simple puede llegar a proponer un problema sólo capaz de ser resuelto por mentes hábiles, si es que puede resolverse. Una niña pregunto "¿Puede Dios hacer cualquier cosa? Al recibir respuesta afirmativa, dijo enseguida: "Entonces, ¿puede El hacer una piedra tan pesada que El mismo no pueda levantar? Mucho adultos bien despiertos no encuentran enseguida la respuesta satisfactoria. Sin embargo, la dificultad radica meramente en la absurda, aunque sagaz, manera de plantear la pregunta, la que en realidad lleva a preguntar "¿Puede el Todopoderoso destruir su propia omnipotencia" Es algo similar a esta otra "¿Qué sucedería si un cuerpo móvil irresistible llegara a tomar contacto con un cuerpo incapaz de ser movido?" Aqui tenemos simplemente una contradicción de términos. ya que si existiera tal cosa como un cuerpo incapaz de ser movido, no podría al mismo tiempo existir un cuerpo móvil al que nada pudiera resistirse"

En fin lo de las paradojas es un tema muy antiguo , pero en muchos casos solucionable hablicando metalenguaje